Introduction

La théorie de la diffusion des ondes (classiques et à une dimension) est fondamentalement basée sur le principe de superposition des solutions d’une équation différentielle (ou aux dérivées partielles comme l’équation de Schrödinger dépendante du temps) linéaire. En effet la matrice de scattering (ou matrice S, ou encore matrice de transfert) s’obtient en exprimant une solution sur la base d’une autre. Cette approche devient naturellement inopérante pour les problèmes nonlinéaires pour lesquels on ne dispose pas aujoud’hui d’outil analytique.

Dans le domaine nonlinéaire, une question essentielle est la possibilité pour un milieu de transmettre dans le gap par l’intermédiaire de la formation de solitons ou plus généralement de modes nonlinéaires. Outre son intérêt fondamental, cette propriété a trouvé une réalisation spectaculaire en optique nonlinéaire dans les milieux à bande interdite photonique (BIP) constitués de strates d’indices différents. Pour ces BIP il a été démontré (théoriquement puis expérimentalement) qu’une radiation incidente de fréquence dans un gap pouvait brutalement être transmise totalement.

L’interprétation actuelle (controversée) du switch de la transmission consiste à supposer qu’un soliton (statique) de champ est créé dans le milieu. Alors, comme l’indice nonlinéaire dépend de l’intensité du champ, localement autour du soliton le gap de la relation de dispersion est déformé et le milieu devient passant. Une des applications prometteuses de cette découverte est la conception de switch optique, à condition de maîtriser la formation du soliton de gap.

En fait les processus de génération de solitons soit par diffusion d’onde, soit par effet de condition au bord, sont actuellemnt très mal (ou pas du tout) compris et c’est précisément ces problèmes qui sont abordés du point de vue fondamental.

Supratransmission nonlinéaire (F. Geniet, J. Leon)

Une situation physique exemplaire et élémentaire de la diffusion d’une onde plane sur un milieu nonlinéaire est la chaîne de pendules couplés, modélisée par l’équation de sine-Gordon, laquelle possède une bande photonique interdite. Nous avons découvert qu’une onde incidente d’amplitude suffisante (seuil) est transmise sous forme de breathers ou de paires kink-antikink.

Experiment : illustration of the Sine-Gordon bistability in a chain of coupled pendula driven by a periodic torque of fixed amplitude and frequency in the forbidden band gap.

The switch is obtained by an external punch. Technical explanation are given in the pdf file.

Ce phénomène, que l’on a pu complètement décripter en étudiant le chaîne de sine-Grodon forcée à une extrémité, a été nommé supratransmission nonlinéaire et s’est révélé dans de nombreux domaines physiques différents (chaînes de jonctions supraconductrices Josephson, milieux dielectriques périodiques (Bragg) en régime nonlinéaire, réseaux de guides d’ondes couplés,...)

C’ est une propriété fondamentale d’un milieu nonlinéaire ayant une bande interdite photonique : si l’amplitude de la condition aux bords dépasse un seuil, le milieu se met brutalement à transmettre de l’énergie sous forme de modes propres nonlinéaires. Cette propriété résulte d’une instabilité nonlinéaire universelle.

Ce résultat est illustré par une réalisation expérimentale avec une chaîne de pendules couplés forcée à une extrémité par un moteur piloté par un générateur de fonctions. Malgré la rusticité du montage les résultats de l’expérience vérifient de façon spectaculaire les prédictions de la théorie.

Milieux de Bragg en régime nonlinéaire (J. Leon, A. Spire)

Le concept de supratransmission nonlinéaire appliqué au scattering d’un faisceau laser sur un milieu de Bragg, dans la bande interdite et en régime nonlinéaire, permet de comprendre de façcon claire la génération de solitons de gap dans les cristaux à bande interdite photonique. En particulier on peut produire des solitons de gap par irradiation avec un faisceau continu, ce qui suggère des applications expérimentales.

Modes nonlinéaires dans un puit de potentiel (J. Leon)

Les concepts développés pour la supratransmission nonlinéaire permettent de traiter le problème de Schrödinger nonlinéaire dans un puits de potentiel carré de profondeur finie. On a ainsi prouvé l’existence de modes nonlinéaires stables, en nombre fini, avec des expressions explicites analogues des états liés du cas linéaire. Outre la nouveauté de ces modes eux-mêmes, et la dépendence des valeurs propres dasn la valeur de la population, on montre que leur population a un seuil au delà duquel le puits se vide en émettant des solitons : les solitons de gap siphonnent les puits ! Cette propriété a des implication directes dans la conception d’un résonateur à guides d’ondes couplés.

Interaction à plusieurs ondes (J. Leon)

Un autre domaine fondamental de diffusion nonlinéaire est l’interaction résonante à plusieurs ondes comme par exemple la diffusion Raman stimulée. Dans ce cas particulier les solitons ne joue pas le rôle qu’on leur attribue et le pic de réplétion anormal n’est pas un soliton Raman. Cependant son intérêt physique et ses propriétés mathématiques n’en sont pas moindres. Enfin, le véritable soliton Raman est sans doute observable par analyse spectrale des sorties pompe et Stokes.

Des travaux récents dans ce domaine concernent l’interaction à deux ondes dans le modèle de Davydov et l’interaction résonante trois ondes qui est la source, dans un système discret, d’une absorption nonlinéaire.